Question

【题目】已知抛物线经过点， 在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．

（1）求线段的长；

（2）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问： 是否过定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的方程为，即恒过定点．

【解析】试题分析：(Ⅰ)运用切线与曲线的关系建立方程求解；(Ⅱ)借助题设条件建立方程分析求解即可.

试题解析:

（Ⅰ）由抛物线经过点，得

，故， 的方程为

在第一象限的图象对应的函数解析式为，则

故在点处的切线斜率为，切线的方程为

令得，所以点的坐标为

故线段的长为

（Ⅱ）恒过定点，理由如下：

由题意可知的方程为，因为与相交，故

由，令，得，故

设

由消去得：

则，

直线的斜率为，同理直线的斜率为

直线的斜率为

因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以

即

整理得： ，

因为不经过点，所以

所以，即

故的方程为，即恒过定点