Question

【题目】已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.

（1）求圆方程；

（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：

（1）求圆的方程，由于圆心在直线上，因此可设圆心坐标为，同时设圆半径为，由圆与直线相切，从而圆心到直线的距离等于圆的半径以及圆心到切点的距离也是半径列出方程组解得得圆标准方程；（2）此类问题是假设直线存在，然后可分直线的斜率存在和不存在两种情形讨论，斜率存在时，设直线方程为，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得弦长，由面积得关于的方程，求出（如无解说明此种情况不存在）；当斜率不存在时直线方程为，直接验证即可．

试题解析：

（1）设圆心坐标为，则圆的方程为： ，又与相切，则有，解得： ， ，所以圆的方程为： ；

（2）由题意得：当存在时，设直线，设圆心到直线的距离为，

则有，进而可得：

化简得： ，无解；

当不存在时， ，则圆心到直线的距离，那么， ，满足题意，所以直线的方程为： .