Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令T_n=++…+，求证T_n≤．

Answer 1

解：（Ⅰ）令n=1则有2a₂¹-a₂¹=1，?a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²+2a₂-1=0．
∴（舍去负值）．
同理，令n=3可解得．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a_n=1，①
又n≥2时有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得s_n²-s_n-1²=1．
∴s_n²是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴s_n²=1+n-1=n，∴（n≥2），又a₁=1
∴．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知≤1+
=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=
即．（12分）
分析：（Ⅰ）令n=1，导出a₁=1．令n=2，导出．令n=3可解得．
（Ⅱ）由2s_na_n-a_n=1，a_n=s_n-s_n-1，知s_n²-s_n-1²=1，所以s₂ⁿ=1+n-1=n，．
（Ⅲ）≤1+=1+1-1+（1）+（）+（）=2-=．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．