Question

【题目】在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线.

【解析】

（1）设点P的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.

（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.

（1）设点P的坐标为，

由，得，即.

故轨迹C的方程为：

（2）根据题意，可设直线的方程为：，

由，消去x并整理得

其中，.

设，，则，.

因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），

从而可设直线的方程为①，

直线的方程为②，

所以，直线，的交点的坐标满足：

而

，

因此，，即点Q在直线上.

所以，探究发现的结论是正确的.