Question

已知函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）用定义证明．

Answer 1

分析：（1）根据对勾函数的图象和性质，我们易判断出函数f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
（2）设0＜x₁＜x₂≤2，根据x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，进而根据减函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递减；
设2＜x₁＜x₂，根据x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，进而根据增函数的定义得到函数f（x）在（0，2]上单调递增．

解答：解：（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
证明（2）设0＜x₁＜x₂≤2，则f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
因0＜x₁＜x₂≤2，所有x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
因2＜x₁＜x₂，所有x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中熟练掌握定义法（作差法）证明函数单调性的方法和步骤是解答本题的关键．