Question

已知函数f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）a=e时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数g(x)=

f(x)

x

，若x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，求证：x1x2＜(x1+x2)4．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）a=e时，求导数，可得切线的斜率，求得切点坐标，可求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求导数，f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，等价于2xln（ax）+x≤x²对任意的x＞0恒成立，即2ln（ax）+1≤x对任意的x＞0恒成立，构造u（x）=2ln（ax）+1-x，求最值，即可求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，可得g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁，即lnx₁＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），相加，即可证明结论．

解答： （1）解：a=e时，f（x）=x²ln（ex）（a＞0）
∴f（1）=1，f′（x）=2xln（ex）+x，
∴f′（1）=3，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），极3x-y-2=0；
（2）解：f′（x）=2xln（ax）+x，
∵f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，
∴2xln（ax）+x≤x²对任意的x＞0恒成立，即2ln（ax）+1≤x对任意的x＞0恒成立，
设u（x）=2ln（ax）+1-x，则u′（x）=

2

x

-1=0，∴x=2，
x＞2时，u′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，u′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=2时，u（x）有最大值u（2），
∴u（2）=2ln2a-1≤0，
∴0＜a≤

e

2

；
（3）证明：当a=1时，设函数g(x)=

f(x)

x

=xlnx，
∴g′（x）=1+lnx=0，∴x=

1

e

，
∴函数在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，
∵x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，
∴g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁，
即lnx₁＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），
同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），
∴lnx₁+lnx₂＜（

x1+x2

x1

+

x1+x2

x2

）ln（x₁+x₂）=（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂），
∵2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，
∴lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂），
∴lnx₁x₂＜ln（x₁+x₂）⁴，
∴x1x2＜(x1+x2)4．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，正确求导数是关键．