【题目】对于定义在区间上的函数
,若同时满足:
(Ⅰ)若存在闭区间,使得任取
,都有
(
是常数);
(Ⅱ)对于内任意
,当
,时总有
恒成立,则称函数
为“平底型”函数.
(1)判断函数和
是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设是(1)中的“平底型”函数,若不等式
对一切
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)函数是区间
上的“平底型”函数,求
和
满足的条件,并说明理由.
【答案】(1)是“平底型”函数,
不是“平底型”函数;理由见解析;(2)
;
(3)且
.
【解析】
(1)将函数与
分别表示为分段函数,结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断;
(2)由(1)知,,由题意得出
,利用绝对值三角不等式求出
的最小值
,然后分
、
、
三种情况来解不等式
,即可得出
的取值范围;
(3)假设函数,
是“平底型”函数,则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件,化简函数解析式,检验“平底型”函数的两个条件同时具备的
、
值是否存在.
(1),
.
对于函数,当
时,
,
当时,
;当
时,
.
所以,函数为“平底型”函数.
对于函数,当
时,
;当
时,
.
但区间不是闭区间,所以,函数
不是“平底型”函数;
(2)由(1)知,,
由于不等式对一切
恒成立,则
.
由绝对值三角不等式得,则有
.
①当时,由
,得
,解得
,此时,
;
②当时,
恒成立,此时,
;
③当时,由
,得
,解得
,此时,
.
综上所述,的取值范围是
;
(3).
①当时,
(i)若,则
,该函数为“平底型”函数;
(ii)若,则该函数不是“平底型”函数;
②当时,若
时,则
,当
时,
,该函数不是“平底型”函数;
③当时,则
,
(i)若,则该函数不是“平底型”函数;
(ii)若,该函数不是“平底型”函数;
(iii)若,则
,则
,显然,该函数不是“平底型”函数.
综上所述,当且
时,函数
是区间
上的“平底型”函数.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线,直线l的参数方程为:
(t为参数),直线l与曲线C分别交于
两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)若点,求
的值.
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【题目】已知点,直线
:
,平面上有一动点
,记点
到
的距离为
.若动点
满足:
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过的动直线
与点
的轨迹交于
,
两点,试问:在
轴上,是否存在定点
,使得
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知位数满足下列条件:①各个数字只能从集合
中选取;②若其中有数字
,则在
的前面不含
,将这样的
位数的个数记为
;
(1)求、
;
(2)探究与
之间的关系,求出数列
的通项公式;
(3)对于每个正整数,在
与
之间插入
个
得到一个新数列
,设
是数列
的前
项和,试探究
能否成立,写出你探究得到的结论并给出证明;
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【题目】数列的前n项
组成集合
,从集合
中任取
个数,其所有可能的k个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列
,当
时,
时,
;
(1)若集合,求当
时,
的值;
(2)若集合,证明:
时集合
的
与
时集合
的
(为了以示区别,用
表示)有关系式
,其中
;
(3)对于(2)中集合.定义
,求
(用n表示).
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【题目】设数据是郑州市普通职工
个人的年收入,若这
个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上世界首富的年收入
,则这
个数据中,下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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