【题目】数列的前n项
组成集合
,从集合
中任取
个数,其所有可能的k个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列
,当
时,
时,
;
(1)若集合,求当
时,
的值;
(2)若集合,证明:
时集合
的
与
时集合
的
(为了以示区别,用
表示)有关系式
,其中
;
(3)对于(2)中集合.定义
,求
(用n表示).
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)利用的定义可得
的值.
(2)时,集合
的
中乘积由两部分构成,一部分是乘积中含
,另一部分不含
,从而可得
之间的关系.
(3)可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为
,从而可得
.
(1)时,
,
所以,
,
.
(2)时,集合
的
中各乘积由两部分构成,
一部分是乘积中含因数,乘积的其他因数来自集合
,故诸乘积和为
;
另一部分不含,乘积的所有因数来自集合
,故诸乘积的和为
.
故.
(3)我们先证明一个性质:
所有非空子集中各元素的乘积和为
.
证明:考虑的展开式,该展开式共有
项,
每一项均为各因式中选取或
后的乘积(除去各项均选1).
对于的任意非空子集
,
该集合中各元素的乘积为
的展开式中的某一项:即第
个因式选择
,
,其余的因式选择1,
注意到非空子集的个数为,
故的所有非空子集中各元素的乘积均在
的展开式中恰好出现一次,
所以所有非空子集中各元素的乘积和为
.
故对于,
.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,点
在抛物线
上,且满足
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上的任意一点
作抛物线
的切线,交抛物线
的准线于点
.在
轴上是否存在一个定点
,使以
为直径的圆恒过
.若存在,求出
的坐标,若不存在,则说明理由.
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【题目】下列判断正确的是( )
A.若随机变量服从正态分布
,
,则
;
B.已知直线平面
,直线
平面
,则“
”是“
”的充分不必要条件;
C.若随机变量服从二项分布:
,则
;
D.是
的充分不必要条件.
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【题目】对于定义在区间上的函数
,若同时满足:
(Ⅰ)若存在闭区间,使得任取
,都有
(
是常数);
(Ⅱ)对于内任意
,当
,时总有
恒成立,则称函数
为“平底型”函数.
(1)判断函数和
是否是“平底型”函数?简要说明理由;
(2)设是(1)中的“平底型”函数,若不等式
对一切
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)函数是区间
上的“平底型”函数,求
和
满足的条件,并说明理由.
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【题目】松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利. 已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔(单位:分钟)满足
. 经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔
相关,当
时电车为满载状态,载客量为
人,当
时,载客量会减少,减少的人数与
的平方成正比,且发车时间间隔为
分钟时的载客量为
人.记电车载客量为
.
(1)求的表达式,并求当发车时间间隔为
分钟时,电车的载客量;
(2)若该线路每分钟的净收益为(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?
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【题目】设满足以下两个条件的有穷数列为
阶“期待数列”:①
;②
.
(1)若等比数列为
阶“期待数列”
,求公比
;
(2)若一个等差数列既是
阶“期待数列”又是递增数列
,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”
的前
项和为
,求证;数列
不能为
阶“期待数列”.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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