【题目】已知平面直角坐标系中两个定点,
,如果对于常数
,在函数
,
的图像上有且只有6个不同的点
,使得
成立,那么
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
画出函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4,4]的图象,讨论若P在AB上,设P(x,﹣2x﹣4);若P在BC上,设P(x,0);若P在CD上,设P(x,2x﹣4).求得向量PE,PF的坐标,求得数量积,由二次函数的最值的求法,求得取值范围,讨论交点个数,即可得到所求范围.
函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4
,
(1)若P在AB上,设P(x,﹣2x﹣4),﹣4≤x≤﹣2.
∴(3﹣x,6+2x),
(﹣3﹣x,6+2x).
∴x2﹣9+(6+2x)2=5x2+24x+27=
,
∵x∈[﹣4,﹣2],∴λ≤11.
∴当λ或
时有一解,当
λ≤-1时有两解;
(2)若P在BC上,设P(x,0),﹣2<x≤2.
∴(3﹣x,2),
(﹣3﹣x,2).
∴x2﹣9+4=x2﹣5,
∵﹣2<x≤2,∴﹣5≤λ≤﹣1.
∴当λ=﹣5或﹣1时有一解,当﹣5<λ<﹣1时有两解;
(3)若P在CD上,设P(x,2x﹣4),2<x≤4.
(3﹣x,6﹣2x),
(﹣3﹣x,6﹣2x),
∴x2﹣9+(6﹣2x)2=5x2﹣24x+27,
∵2<x≤4,∴λ≤11.
∴当λ或
时有一解,当
λ<-1时有两解;
综上,可得有且只有6个不同的点P的情况是λ<﹣1.
故选:C.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
,平面
平面
,点
为棱
的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点
,使得
平面
,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,求直线
与平面
所成的角.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知的两个顶点为
,
,平面内P,Q同时满足
;
;
.
求顶点A的轨迹E的方程;
过点
作两条互相垂直的直线
,
,直线
,
被点A的轨迹E截得的弦分别为
,
,设弦
,
的中点分别为M,
试问:直线MN是否恒过一个顶点?若过定点,请求出该顶点,若不过定点,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年电子商务蓬勃发展, 年某网购平台“双
”一天的销售业绩高达
亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出
次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为
,对快递的满意率为
,其中对商品和快递都满意的交易为
次.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
对快递满意 | 对快递不满意 | 合计 | |
对商品满意 | |||
对商品不满意 | |||
合计 |
(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查,详细了解满意与否的具体原因,并在这
次交易中再随机抽取
次进行电话回访,听取购物者意见.求电话回访的
次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.
附: (其中
为样本容量)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按分组,制成频率分布直方图:
假设乘客乘车等待时间相互独立.
(1)在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取1人,记为;从乙站的乘客中随机抽取1人,记为
.用频率估计概率,求“乘客
,
乘车等待时间都小于20分钟”的概率;
(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人,表示乘车等待时间小于20分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量
的分布列与数学期望.
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