【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
,平面
平面
,点
为棱
的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点
,使得
平面
,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,求直线
与平面
所成的角.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(Ⅰ)取的中点
,连结
、
,得到故
且
,进而得到
,利用线面平行的判定定理,即可证得
平面
.
(Ⅱ)以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,设
,求得平面
的法向量为
,和平面
的法向量
,利用向量的夹角公式,求得
,进而得到
为直线
与平面
所成的角,即可求解.
(Ⅰ)在棱上存在点
,使得
平面
,点
为棱
的中点.
理由如下:取的中点
,连结
、
,由题意,
且
,
且
,故
且
.所以,四边形
为平行四边形.
所以,,又
平面
,
平面
,所以,
平面
.
(Ⅱ)由题意知为正三角形,所以
,亦即
,
又,所以
,且平面
平面
,平面
平面
,
所以平面
,故以
为坐标原点建立如图空间直角坐标系,
设,则由题意知
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
则由得
,令
,则
,
,
所以取,显然可取平面
的法向量
,
由题意:,所以
.
由于平面
,所以
在平面
内的射影为
,
所以为直线
与平面
所成的角,
易知在中,
,从而
,
所以直线与平面
所成的角为
.
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【题目】命题甲:“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角相等或互补.”命题乙:“底面为正三角形,侧面为等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.”命题丙:“过圆锥的两条母线的截面,以轴截面的面积最大.”其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
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【题目】已知点是椭圆
的右焦点,点
,
分别是
轴,
轴上的动点,且满足
.若点
满足
(
为坐标原点).
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设过点任作一直线与点
的轨迹交于
,
两点,直线
,
与直线
分别交于点
,
,试判断以线段
为直径的圆是否经过点
?请说明理由.
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【题目】如图,某镇有一块空地,其中
,
,
.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖
,其中M,N都在边
上,且
,挖出的泥土堆放在
地带上形成假山,剩下的
地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在
的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)为节省资金投入,人工湖的面积要尽可能小,设
,问:当
多大时
的面积最小?最小面积是多少?
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【题目】下列命题中正确的是( )
A. 命题:
,
,则命题
:
,
B. “”是“
”的充要条件
C. 命题“若,则
或
”的逆否命题是“若
或
,则
”
D. 命题:
,
;命题
:对
,总有
;则
是真命题
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