Question

已知点的坐标分别为，，直线相交于点,且它们的斜率之积是

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点作两条互相垂直的射线，与点的轨迹交于两点.试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.

Answer 1

（1） ；（2）O到直线AB的距离为定值.

【解析】

试题分析：（1）根据题意直接法求动点的轨迹方程；（2）根据题意对直线按斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，为等腰直角三角形，很易得到点到直线的距离；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：，联立椭圆方程消去，根据韦达定理得到和代入即：得到和的关系，利用点到直线的距离公式，得到点到直线的距离，进而得到两种情况下，点到直线的距离为定值.

试题解析：（1）【解析】
，由题可得

所以点M的轨迹方程为

（2）点O到直线AB的距离为定值 ，设,

① 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA：

将代入，解得

所以点O到直线AB的距离为；

② 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与

联立消去得

，

因为，所以，

即

所以，整理得，

所以点O到直线AB的距离

综上可知点O到直线AB的距离为定值

考点：1.直接法求动点的轨迹方程；2.韦达定理.