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已知函数f(x)=
12
mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)

(1)若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线L与C有且只有一个公共点,求m的值;
(2)求证:函数f(x)存在单调减区间[a,b],令t=b-a,求t的取值范围.
分析:(1)先求切线方程为y=-x+1,再由切线L与C有且只有一个公共点,转化为
1
2
mx2-x+ln(x+1)=0
有且只有一个实数解,从而的解;
(2)利用函数单调减,得mx2+(m-2)x-1<0(x>-1),通过研究不等式的解集,从而可证,t的取值范围利用基本不等式可解.
解答:解:(1)易知f(x)定义域(-1,+∞)f/(x)=mx-2+
1
x+1
f/(0)=-1
,∴k2=-1∴切线L:y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点,∴
1
2
mx2-x+ln(x+1)=0
有且只有一个实数解,显然x=0时成立.
g(x)=
1
2
mx2-x+ln(x+1)
,则g/(x)=mx-1+
1
x+1
=
mx[x-(
1
m
-1)]
x+1

①当m=1时,g′(x)≥0,函数在(-1,+∞)上单调增,x=0是方程唯一实数解;
②当m>1时由g′(x)=0得x1=0,x2=
1
m
-1∈(-1,0
),从而有x=x2是极大值点且g(x2)>g(0)=0,又当x→-1时,g(x)→-∝因此g(x)=0在(-1,x2)内也有一解,矛盾
综上知,m=1.
(2)∵f/(x)=
mx2+(m-2)x-1
x+1
(x>-1)
∴f′(x)<0?mx2+(m-2)x-1<0(x>-1)
令h(x)=mx2+(m-2)x-1<0(x>-1),∴h(x)=0在(-1,+∞)有两个不等实数解a,b,即h(x)=mx2+(m-2)x-1<0(x>-1)得解集为(a,b),故存在单调减区间[a,b],
t=b-a=
1+
4
m2

∵m≥1,∴1<
1+
4
m2
5

t∈(1,
5
]
点评:本题主要考查导数的几何意义,函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,有一定的难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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