Question

已知：y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x+1）图象关于点（-1，0）对称，则当x＞3且f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0时，

y

x

的取值范围为：

(

7

24

，

7

3

)

．

Answer 1

分析：由已知中函数的单调性及对称性，可将不等式x＞3且f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0化为（x-3）²+（y-4）²-9＜0，x＞3，画出满足条件的可行域，结合

y

x

的几何意义，可分析出

y

x

的取值范围．

解答：解：∵y=f（x）是定义在R上的增函数，
且函数y=f（x+1）图象关于点（-1，0）对称，
故函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数
故f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0可化为
f（x²-6x+16）＜-f（y²-8y）=f（-y²+8y）
即x²-6x+16＜-y²+8y
即x²-6x+16+y²-8y=（x-3）²+（y-4）²-9＜0
即（x-3）²+（y-4）²-9＜0，x＞3
其表示的平面区域如下图所示：
当直线与半圆相切时，将y=kx代入（x-3）²+（y-4）²-9=0，x＞3得
（x-3）²+（kx-4）²-9=0只有一解
解得k=

7

24

，即

y

x

的最小值为

7

24

当x=3，y=7时，

y

x

的最大值为

7

3

故

y

x

的取值范围是(

7

24

，

7

3

)
故答案为：(

7

24

，

7

3

)

点评：本题以函数单调性的性质为载体考查了线性规划问题，其中根据已知中函数的性质分析出满足条件的约束条件是解答的关键．