Question

已知，，且直线与曲线相切．

（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数 都有成立；

（3）求证：．

 

Answer 1

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（*）

，． （**）

由（*）、（**）两式，解得，．……………………………2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，．…………………5分

因此，实数的取值范围是．………………………………………6分

（2）当时，，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．

因此，的最大值为．………………………………………10分

（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，

即．………………………………………………………11分

令，得，

化简得，………………………………13分

．………………………14分

（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，

根据（1）的推导有，时，，即．

令，得，即．

因此，时不等式成立．………………………………11分

（另【解析】
，，，即．）

假设当时不等式成立，即，

则当时,，

要证时命题成立，即证，

即证．

在不等式中，令，得

．

时命题也成立．………………………………………13分

根据数学归纳法，可得不等式对一切成立． …14分

本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．