Question

已知f（x）是定义在[-2，2]上的函数，且对任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，且f（x）的最大值为1，则满足f（lo

g

x 2

）＜1的解集为

(

1

4

，4]

．

Answer 1

分析：由题意，得f（x）是定义在[-2，2]上的减函数，可得f（lo

g

x 2

）＜1即f（lo

g

x 2

）＜f（-2），结合函数的单调性转化为-2＜lo

g

x 2

≤2，解之即可得到所求的解集．

解答：解：∵对任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴f（x）是定义在[-2，2]上的减函数，得函数的最大值为f（-2）=1
∴f（lo

g

x 2

）＜1即f（lo

g

x 2

）＜f（-2）
结合函数的单调性，得lo

g

x 2

＞-2，即lo

g

x 2

＞log2

1

4

，解之得x＞

1

4

又∵f（x）定义在[-2，2]上，
∴lo

g

x 2

∈[-2，2]，解之得

1

4

≤x≤4
取交集，得

1

4

＜x≤4，原不等式的解集为(

1

4

，4]
故答案为：(

1

4

，4]

点评：本题给出抽象函数，在已知单调性的情况下求解不等式，着重考查了对数的运算法则和函数的单调性等知识，属于中档题．