Question

13．已知函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-2+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x），a=-f（cos（$\frac{3π}{2}$-3）），b=-f（log₃$\frac{1}{2}$），c=f（log₄3），则（　　）

• A． c＞b＞a
• B． b＞c＞a
• C． a＞c＞b
• D． a＞b＞c

Answer 1

分析 先判断函数f（x）是R上的奇偶性与单调性．可得：a=f（sin3），b=f（log₃2），c=f（log₄3），又0＜sin3＜$\frac{1}{2}=lo{g}_{3}\sqrt{3}$＜log₃2$＜\frac{2}{3}$＜log₄3＜1，即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-2+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-2+$lo{g}_{3}\frac{9}{\sqrt{{x}^{2}+9}+x}$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=$\frac{2}{{2}^{-x}+1}-2$+$lo{g}_{3}\frac{9}{\sqrt{{x}^{2}+9}-x}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-2+$lo{g}_{3}\frac{9}{\sqrt{{x}^{2}+9}+x}$=0，即f（-x）=-f（x），x∈R．
∴函数f（x）是奇函数．
当x＞0时，由于y=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$单调递减，y=$lo{g}_{3}\frac{9}{\sqrt{{x}^{2}+9}+x}$也单调递减，∴函数f（x）在x＞0时单调递减．
可得函数f（x）在x∈R时单调递减．
∵$cos（\frac{3π}{2}-3）$=-sin3，$lo{g}_{3}\frac{1}{2}$=-log₃2，
∴a=f（sin3），b=f（log₃2），c=f（log₄3）．
∵0＜sin3＜$\frac{1}{2}=lo{g}_{3}\sqrt{3}$＜log₃2$＜\frac{2}{3}$＜log₄3＜1，
∴a＞b＞c．
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．