Question

8．已知函数f（x）=e^x-e^-x-2x，x∈R，其中e是自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设f′（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=f′（2x）-2af′（x）+2a²-4a-4，x∈R存在两个零点，求实数a的取值范围；
（3）设t＞1，求证：函数h（x）=f（e^x）+f（-x-t），x＞0有唯一零点．

Answer 1

分析 （1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求出函数g（x）的表达式，利用换元法转化为关于t的一元二次函数，利用根的分布建立不等式关系即可求实数a的取值范围；
（3）求出函数h（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-e^-x-2x，
∴f（-x）=e^-x-e^x+2x=-（e^x-e^-x-2x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（2）f′（x）=e^x+e^-x-2，则f′（2x）=e^2x+e^-2x-2，
则函数g（x）=f′（2x）-2af′（x）+2a²-4a-4=e^2x+e^-2x-2-2a（e^x+e^-x-2）+2a²-4a-4
=（e^x+e^-x）²-4-2a（e^x+e^-x）+4a+2a²-4a-4
=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-8，
设t=e^x+e^-x，则t=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{-x}•{e}^{x}}$=2，
则函数等价为h（t）=t²-2at+2a²-8存在两个大于2的零点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4（2{a}^{2}-8）=-4（{a}^{2}-8）≥0}\\{h（2）=4-4a+2{a}^{2}-8≥0}\\{-\frac{-2a}{2}=a≥2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}≤8}\\{{a}^{2}-2a-2≥0}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\\{a≥1+\sqrt{3}或a≤1-\sqrt{3}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，即1+$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{2}$．
（3）∵f′（x）=e^x+e^-x-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2=2-2=0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）为增函数，
∴由h（x）=f（e^x）+f（-x-t）=0，得f（e^x）=-f（-x-t）=f（x+t），
即e^x=x+t，
即t=e^x-x，
设m（x）=e^x-x，则m′（x）=e^x-1，当x＞0时m′（x）=e^x-1＞1-1=0，
即函数m（x）=e^x-x则[0，+∞）上为增函数，
则m（x）＞m（0）=e⁰-0=1，
∴当t＞1，方程t=e^x-x有唯一一个根，即函数h（x）=f（e^x）+f（-x-t），x＞0有唯一零点．

点评 本题主要考查导数的应用以及函数奇偶性的判断，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．