Question

16．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+2lnx，（a∈R）在x=2处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）方程f（x）=m有三个实数x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），求证：x₃-x₁＜2．

Answer 1

分析 （1）求导，在x=2处取得极值，可得f′（2）=2+a+1=0，利用导数求单调区间；
（2）利用导数求出原函数的单调区间和极值，模拟函数图象；方程f（x）=m有三个实数x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），等价于函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，
根据函数图象得出x的范围．

解答 解：（1）f′（x）=x+a+$\frac{2}{x}$，
∵在x=2处取得极值，
∴f′（2）=2+a+1=0，
∴a=-3，
∴f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-2）（x-1）}{x}$，
当x∈（0，1）和（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
（2）由（1）可知：f（1）=$\frac{5}{2}$是函数f（x）的极大值；f（2）=ln4-4是函数f（x）的极小值，
∵方程f（x）=m有三个实数x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃）；
∴函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示：

由图可知：ln4-4＜m＜$\frac{5}{2}$；则$\frac{1}{2}$＜x₁＜1；2＜x₃＜$\frac{5}{2}$
∴x₃-x₁＜$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2．

点评 考察了极值点的概念，利用导函数求单调区间和极值并模拟函数图象，利用图象法证明问题．