Question

6．函数f（x）=-x²-4x-4，x∈[a，a+1]（a∈R），则f（x）的最大值为$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 配方可得f（x）=-（x+2）²，确定对称轴与区间的位置关系，分类讨论，即可求得f（x）的最大值的函数表达式；

解答 解：∵函数f（x）=-x²-4x-4=-（x+2）²的图象是开口朝下，且以直线x=-2为对称轴的抛物线，
当a≥-2时，函数f（x）在[a，a+1]上为减函数，当x=a时，函数f（x）的最大值为：-a²-4a-4，
当a＜-2＜a+1，即-3＜a＜-2时，函数f（x）在[a，-2]上为增函数，在[-2，a+1]上为减函数，当x=-2时，函数f（x）的最大值为：0，
当a+1≤-2，即a≤-3时，函数f（x）在[a，a+1]上为增函数，当x=a+1时，函数f（x）的最大值为：-（a+1）²-4（a+1）-4=-a²-6a-9，
综上f（x）的最大值为：$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，解题的关键是正确配方，合理讨论，属于中档题