Question

17．已知等比数列{a_n}中，公比q=4，a₁•a₂•a₃…•a₃₀=4³⁰，那么a₁•a₄•a₇…a₂₈=4²⁷⁰．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式、等差数列的求和公式、指数运算法则可知${{a}_{1}}^{30}$=4^-15×27，通过数列{a_3n-2}是公比为4³的等比数列，计算可知所求值为${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27，利用${{a}_{1}}^{10}$=$\root{3}{{{a}_{1}}^{30}}$代入计算即得结论．

解答 解：依题意，a₁•a₂•a₃…•a₃₀=${{a}_{1}}^{30}$•q^0+1+2+…+29
=${{a}_{1}}^{30}$•${4}^{\frac{30×（0+29）}{2}}$
=${{a}_{1}}^{30}$•4^15×29
=4³⁰，
∴${{a}_{1}}^{30}$=4^30-15×29=4^-15×27，
又∵数列{a_3n-2}是公比为4³的等比数列，
∴a₁•a₄•a₇…a₂₈=${{a}_{1}}^{10}$•q^0+3+6+…+27
=${{a}_{1}}^{10}$•${4}^{3•\frac{10×（0+27）}{2}}$
=${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27，
又∵${{a}_{1}}^{10}$=$\root{3}{{{a}_{1}}^{30}}$=${4}^{\frac{-15×27}{3}}$=4^-5×27，
∴${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27=4^-5×27•4^15×27=4²⁷⁰，
即a₁•a₄•a₇…a₂₈=4²⁷⁰，
故答案为：4²⁷⁰．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．