Question

4．如图，点B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），点A时单位圆与x轴正半轴的交点．设点P为单位圆上的动点，点Q满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，∠AOP=2θ（$\frac{π}{6}$≤θ＜$\frac{π}{2}$），f（θ）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OQ}$，求f（θ）的取值范围，当$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$时，求四边形OAQP的面积．

Answer 1

分析 由题意可得P（cos2θ，sin2θ），A（1，0），再由$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$得到$\overrightarrow{OQ}$的坐标，再由数量积的坐标运算求得f（θ），然后由θ得范围求得f（θ）的范围；然后由
$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$求得θ值，则四边形OAQP的面积可求．

解答 解：由题意可得：P（cos2θ，sin2θ），A（1，0），
则$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cos2θ，sin2θ），
又∵B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴f（θ）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{1}{2}$（1+cos2θ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ
=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$≤θ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则$\frac{1}{2}$≤sin（2θ-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤f（θ）≤$\frac{1}{2}$，
∴f（θ）的取值范围[0，$\frac{1}{2}$]．
当$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$时，有sin（2θ-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=0，
即sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$≤2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
解得：$θ=\frac{π}{6}$．
∴${S}_{四边形OAQP}=2×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的定义、二倍角公式、两角差的正弦公式等三角函数的知识，考查了运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．