Question

9．已知$\underset{lim}{n→∞}$（2n+1）a_n=1，求$\underset{lim}{n→∞}$na_n．

Answer 1

分析 通过$\underset{lim}{n→∞}$（2n+1）的极限不存在及$\underset{lim}{n→∞}$（2n+1）a_n=1可知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{a}_{n}}$的极限也不存在，利用洛必达法则计算可知$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{1}{{a}_{n}}）′$=2，进而计算可得结论．

解答 解：∵$\underset{lim}{n→∞}$（2n+1）a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2n+1}{\frac{1}{{a}_{n}}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{（\frac{1}{{a}_{n}}）′}$
=$\frac{2}{\underset{lim}{n→∞}（\frac{1}{{a}_{n}}）′}$
=1，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{1}{{a}_{n}}）′$=2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$na_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{\frac{1}{{a}_{n}}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{（\frac{1}{{a}_{n}}）′}$
=$\frac{1}{\underset{lim}{n→∞}（\frac{1}{{a}_{n}}）′}$
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列极限及其运算，利用洛必达法则是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．