Question

19．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．

Answer 1

分析 由题知，首末两数之和为21，中间两数之和为18，设四个数为$\frac{21}{2}$-a，9-b，9+b，$\frac{21}{2}$+a，运用等差数列和等比数列的性质，列方程，解方程即可得到四个数．

解答 解：由题知，首末两数之和为21，中间两数之和为18，
所以设四个数为$\frac{21}{2}$-a，9-b，9+b，$\frac{21}{2}$+a，
后三个数成等差数列，
得到2（9+b）=（9-b）+（$\frac{21}{2}$+a），
即a=3b-$\frac{3}{2}$，
前三个数成等比数列，
得到（9-b）²=（9+b）（$\frac{21}{2}$-a），
将a=3b-$\frac{3}{2}$代入得，
（9-b）²=（9+b）（12-3b）
解得b=3，或b=-$\frac{9}{4}$，
对应的a=$\frac{15}{2}$或a=-$\frac{33}{4}$，
所以，四个数为3，6，12，18，或$\frac{75}{4}$，$\frac{45}{4}$，$\frac{27}{4}$，$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查四个数的求法，注意设法，属于中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．