Question

19．若曲线f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d（a，b，c＞0）上不存在斜率为0的切线，则$\frac{f′（1）}{b}$-1的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由题意得到f′（x）=ax²+bx+c=0无解，即b＜2$\sqrt{ac}$，因为$\frac{f′（1）}{b}$-1=$\frac{a+c}{b}$，利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵曲线f（x）上不存在斜率为0的切线，
∴f′（x）=ax²+bx+c=0无解，
∴△=b²-4ac＜0，即b＜2$\sqrt{ac}$
∴f′（1）=a+b+c，
∴$\frac{f′（1）}{b}$-1=$\frac{a+b+c}{b}$-1=$\frac{a+c}{b}$，
∵$\frac{a+c}{b}$≥$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$≥$\frac{b}{b}$=1，
∴$\frac{f′（1）}{b}$-1的取值范围是[1，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了导数的运算法则和方程的解得问题，以及基本不等式，属于基础题．