Question

20．设f（x）是定义在R₊上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（1）=0；
（2）若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可．
（2）利用抽象函数的关系，将不等式进行转化，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 证明：（1）∵f（x）是定义在R₊上的增函数，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0
（2）若f（3）=1，
则f（a）＞f（a-1）+1等价为f（a）＞f（a-1）+f（3），
即f（a）＞f（3（a-1））=f（3a-3），
∵f（x）是定义在R₊上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞3a-3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞1}\\{a＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{3}{2}$，
即实数a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据赋值法是解决本题的关键．