Question

【题目】若二次函数 的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存存在实数x0 ， 使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；
⑤函数 的图象与直线y=﹣x也一定没有交点．
其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

【答案】①②④⑤
【解析】解：因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；
故①正确；
若a＞0，则不等式f[f（x）]＞f（x）＞x对一切实数x都成立；
故②正确；
若a＜0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立，所以不存在x0 ， 使f[f（x0）]＞x0；
故③错误；
若a+b+c=0，则f（1）=0＜1，可得a＜0，因此不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
故④正确；
易见函数g（x）=f（﹣x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=﹣x也一定没有交点．
故⑤正确；
所以答案是：①②④⑤
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．