Question

16．若x，y为正实数，a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$|（min{x，y}表示x，y两个数中的较小者），则a的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$，求出a的值，再通过比较求出a的最大值以及对应的x与y的值．

解答 解：∵x，y为正实数，
∴$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{x}^{2}}{y}+y}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{{x}^{2}}{y}•y}}$=$\frac{1}{2x}$，当且仅当x=y时“=”成立；
当x≥$\frac{1}{2x}$，即x≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\frac{1}{2x}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$|=$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，a=min|x，$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$|＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴a的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查不等式比较大小问题，关键在于利用基本不等式求得$\frac{y}{{x}^{2}{+y}^{2}}$≤$\frac{1}{2x}$，再求a的最大值，也考查了分析转化与运算的能力，属于难题．