Question

7．已知函数$f（x）=sin（{ωx-\frac{2π}{3}}）（{ω＞0}）$在$（{\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}}）$上单调递增，则ω的取值范围为$[{\frac{1}{3}，\frac{7}{4}}]∪[{\frac{13}{3}，\frac{19}{4}}]$．

Answer 1

分析 根据三角函数的单调性，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵函数在$（{\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}}）$上单调递增，
∴函数的周期满足$\frac{1}{2}$T≥$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$，
则$\frac{2π}{ω}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{6}$，
则0＜ω≤6，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则2kπ+$\frac{π}{6}$≤ωx≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
∵$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{2}$•ω≤ωx≤$\frac{2π}{3}$•ω，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}•ω}\\{2kπ+\frac{7π}{6}≥\frac{2π}{3}•ω}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ω≥4k+\frac{1}{3}}\\{ω≤3k+\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
即4k+$\frac{1}{3}$≤ω≤3k+$\frac{7}{4}$，k∈Z，
若k=0，则$\frac{1}{3}$≤ω≤$\frac{7}{4}$，
若k=1，则$\frac{13}{3}$≤ω≤$\frac{19}{4}$，
若k=2，则8+$\frac{1}{3}$≤ω≤6+$\frac{7}{4}$，
∵0＜ω≤6，∴当k=2时，不满足条件．
故ω的取值范围为$[{\frac{1}{3}，\frac{7}{4}}]∪[{\frac{13}{3}，\frac{19}{4}}]$，
故答案为：$[{\frac{1}{3}，\frac{7}{4}}]∪[{\frac{13}{3}，\frac{19}{4}}]$

点评 本题主要考查三角函数单调性的考查，建立不等式关系是解决本题的关键．