Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=1，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求证：PC⊥BD；
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB．
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）∵四边形ABCD是正方形∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴PC⊥BD
（3）由题意得：
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD
∵PD?平面PAC∴CD⊥PD
所以△PCD是直角三角形
因为PA=AB=1所以S_△PCD=
同理CB⊥PB即得到S_△BCP=．
因为PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形
所以
所以四棱锥P-ABCD的表面积为．
分析：（1）欲证PB∥平面AEC，关键是在平面AEC内找一直线与PB平行，连接BD交AC于点O，连接EO，利用中位线平行即可证得；
（2））由题意得四边形ABCD是正方形所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC．进而可以证明线线垂直．
（3）因为CD⊥AD，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．所以S_△PCD=同理得S_△BCP=，再根据已知求出其他各面的面积求和即可．
点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，解决此类问题的关键是对判断线面平行与线面垂直的判断定理性质定理要熟悉．此题考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．