Question

已知三点：A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）
①若a∈（-π，0），且|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
②若

AC

•

BC

=0，求

2sin2a+sin2a

1+tana

Answer 1

分析：（1）由已知|

AC

|=|

BC

|代入坐标得出sinα和cosα的关系式，结合α的范围，求出角α的值；
（2）由已知

AC

•

BC

=0代入坐标得出关于角α的关系式，再将

2sin2a+sin2a

1+tana

利用二倍角公式和切化弦知识统一成角α的关系式，与已知找关系即可．

解答：解：（1）由已知|

AC

|=|

BC

|代入坐标得：
（3sinα-4）²+（3sinα）²=（3cosα）²+（3sinα-4）²
即sinα=cosα，所以tanα=1，
因为a∈（-π，0），所以α=-

3π

4

（2）由已知

AC

•

BC

=0代入坐标得：
（3cosα-4，3sinα）•（3cosα，3sinα-4）
=9cos²α-12cosα+9sin²α-12sinα
=9-12（sinα+cosα）=0
所以sinα+cosα=

3

4

平方得1+2sinα•cosα=

9

16

所以2sinα•cosα=-

7

16

又因为

2sin2a+sin2a

1+tana

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinα•cosα=-

7

16

点评：本题是向量和三角的综合问题，以向量的模、向量的数量积为载体考查三角函数的化简和求值运算知识．