Question

已知函数y=f（x）是定义在区间上的偶函数，且时，f（x）=-x²-x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数g（x）=-x²-x+5，的图象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

Answer 1

解（1）当时，-x∈∴f（-x）=-（-x²）-（-x）+5=-x²+x+5
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x²+x+5，x∈
∴f（x）=
（2）依题意 ①
将y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）²-（x'-1）+52 且
∴h（x）=-x²+x+5+b且
由h（x）＜0 b＜x²-x-5
设y₁=by₂=x²-x-5
易知y₂在↑，
则当b＜-5时，解集为，当b=-5时，解集{x|1＜
当时，解集为φ；
当-5＜b＜时，由x²-x-5-b=0解的（舍）
解集为＜
分析：（1）根据偶函数的定义可知先求出函数在区间上的函数解析式，从而求出函数y=f（x）在区间上的解析式；
（2）先根据向量平移求出函数h（x）的解析式，然后讨论b的范围，分别求出不等式h（x）＜0的解集．
点评：本题综合考查了函数的基本性质，已知奇偶性求函数解析式的问题，以及图象的平移和解不等式，属于中档题．