Question

已知b_n=

2

n2+n

，求数列的前n项和S_n＜

5

3

的最大n的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由b_n=

2

n2+n

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项求和法求解数列的前n项和S_n＜

5

3

的最大n的值．

解答： 解：∵b_n=

2

n2+n

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

∵数列的前n项和S_n＜

5

3

，
∴由

2n

n+1

＜

5

3

，得6n＜5n+5，解得n＜5．
∵nn∈N^*，∴S_n＜

5

3

的最大n的值为4．

点评：本题考查数列的前n项和S_n＜

5

3

的最大n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．