Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

，建立方程组，即可求出a_n与b_n；
（2）由a_n=3n，bn=3n-1，知c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，
等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
∴b₂=b₁q=q，

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，（3分）
解方程组得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6（5分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．（7分）
（2）∵a_n=3n，bn=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和
T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n

2

×3ⁿ⁺¹-

3

4

(3n-1)．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．