Question

19．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=5，|BC|=6；点D是边BC上的动点，$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，当xy取最大值时，|$\overrightarrow{AD}$|的值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意，得出xy取最大值时D是AD的中点，再利用余弦定理，列出方程组即可求出|$\overrightarrow{AD}$|的值．

解答 解：如图所示，

△ABC中，点D是边BC上的动点，$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴x≥0，y≥0，且x+y=1；
∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时“=”成立；
∴D是AD的中点，|BD|=|DC|=3；
设∠ADB=θ，则∠ADC=π-θ，|AD|=a，
△ABD中，由余弦定理得，3²=a²+3²-2×3×acosθ；…①
△ACD中，由余弦定理得，5²=a²+3²-2×3×acos（π-θ）；…②
由①、②联立，解得a=2$\sqrt{2}$，即|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的基本定理与解三角形的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．