Question

6．△DEF的外接圆的圆心为O，半径R=4，如果$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DE}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OD}$|=|$\overrightarrow{DF}$|，则向量$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影为（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$便可得出DO经过EF的中点，从而有DO⊥EF，而连接OF便可得到△DOF为等边三角形，这样即可得到∠DFE=30°，根据DF=4即可求出EF的值，从而计算$|\overrightarrow{EF}|cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FD}＞$便可求出$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影．

解答 解：如图，
由$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}$；
∴DO经过边EF的中点；
∴DO⊥EF，连接OF，∵$|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{DF}|$=4；
∴△DOF为等边三角形；
∴∠ODF=60°；
∴∠DFE=30°，且$EF=4×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=4\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影为$|\overrightarrow{EF}|cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FD}＞=4\sqrt{3}cos150°=-6$．
故选：B．

点评 考查向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，三角函数的定义，以及一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．