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    11．若存在实数x0和正实数△x，使得函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4k△x，（常数k≥1）．则称函数f（x）为“k倍函数”．则下列四个函数
     ①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$
    ②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
     ③f（x）=4sinx
    ④${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$
    其中为“k倍函数”的有①④（填出所有正确结论的番号）．

    分析 ①利用新定义，通过选取实数x0和正实数△x，判断函数是否满足新定义即可．②判断新定义不满足的情况，推出结果；③④利用表达式的几何意义，通过函数的导数求解即可．

    解答 解：对于①${f_{\;}}（x）=\sqrt{x}$，令实数x0=0，正实数△x=$\frac{1}{16{k}^{2}}$，
    可得：f（x0+△x）=$\sqrt{△x}$=$\frac{1}{4k}$，
    f（x0）+4k△x=4k×$\frac{1}{16{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k}$，
    函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4k△x，（常数k≥1）．
    函数f（x）为“k倍函数”．
    对于②${f_{\;}}（x）={x^2}-2xx∈[0，3]$
    f（x0+△x）=（x0+△x）2-2（x0+△x）=x02+2x0△x+△x2-2x0-2△x，
    f（x0）+4k△x=x02-2x0+4k△x，
    若满足f（x0+△x）=f（x0）+4k△x，
    必有2x0△x+△x2-2△x=4k△x，
    即：2x0+△x-2=4k，∵x∈[0，3]，x0+△x∈[0，3]，x0+△x-2∈[-2，1]，x0＜3，
    ∴2x0+△x-2＜4．
    ∴②函数f（x）不是“k倍函数”．
    对于：③f（x）=4sinx，若函数f（x）满足f（x0+△x）=f（x0）+4k△x，
    由题意可知函数若满足题意，
    必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲线上两点连线的斜率必须存在≥4的斜率．
    f′（x）=4cosx，
    ∵f′（△x）=4cos△x＜4，
    ∴③吧满足题意．
    对于④，${f_{\;}}（x）={e^x}-lnx$，函数若满足题意，
    必有4k=$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}）}{△x}$，即曲线上两点连线的斜率必须存在≥4的斜率．
    f′（x）=ex-$\frac{1}{x}$，f′（△x）=${e}^{△x}-\frac{1}{△x}$∈R，
    所以④满足题意，
    故答案为：①④．

    点评 本题考查新定义的应用，赋值法以及直接法，函数的导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．

    练习册系列答案
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