Question

20．设$a=\sqrt{{x^2}-xy+{y^2}}，b=p\sqrt{xy}，c=x+y$，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，2]
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}）$
• D． 以上均不正确

Answer 1

分析 由基本不等式可得a≥$\sqrt{xy}$，c≥2$\sqrt{xy}$，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$b=p\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+$\sqrt{xy}$＞2$\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$\sqrt{xy}$，由此求得实数p的取值范围．

解答 解：对于正实数x，y，由于$a=\sqrt{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$≥$\sqrt{2xy-xy}$=$\sqrt{xy}$，c=x+y≥2$\sqrt{xy}$，$b=p\sqrt{xy}$，
且三角形任意两边之和大于第三边，
∴$\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$b=p\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+$\sqrt{xy}$＞2$\sqrt{xy}$，且 $p\sqrt{xy}$+2$\sqrt{xy}$＞$\sqrt{xy}$．
解得 1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），
故选：A．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，以及三角形中任意两边之和大于第三边，属于中档题．