Question

9．已知点列A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）均为函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B_n（n，0）满足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，若数列{b_n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）∪（1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，1）∪（1，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）

Answer 1

分析 根据题意，得出a_n、b_n的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，满足的条件，从而求出a的取值范围．

解答 解：由题意得，点B_n（n，0），A_n（a_n，b_n）满足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，
由中点坐标公式，可得B_nB_n+1的中点为（n+$\frac{1}{2}$，0），
即a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$；
当a＞1时，以b_n-1，b_n，b_n+1为边长能构成一个三角形，
只需b_n-1+b_n+1＞b_n，
b_n-1＜b_n＜b_n+1，
即${a}^{n-\frac{1}{2}}$+${a}^{n+\frac{3}{2}}$＞${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
即有1+a²＜a，
解得1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
同理，0＜a＜1时，解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1；
综上，a的取值范围是1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1，
故选：B．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．