Question

18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x+3，则函数f（x）的最大值是（　　）

• A． 4+$\sqrt{2}$
• B． 4-$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换，化简函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+4，即可求出f（x）的最值．

解答 解：∵函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x+3
=sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$+3
=sin2x+cos2x+4
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+4，
且-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴4-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+4≤4+$\sqrt{2}$，
∴函数f（x）的最大值是4+$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了利用三角函数的有界性求最值的应用问题，是基础题目．