Question

10．利用二项式定理求$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k-1kC${\;}_{n}^{k}$•2^k-1（n＞2，n∈N^*）的值．

Answer 1

分析 把所给的式子进行等价变形，再利用二项式定理求得它的值．

解答 解：$\sum_{k=1}^{n}$（-1）^k-1kC${\;}_{n}^{k}$•2^k-1 =${C}_{n}^{1}$•2⁰•（-1）⁰+${C}_{n}^{2}$•2•（-1）+${C}_{n}^{3}$•2²•（-1）²+…+${C}_{n}^{n}$•2^n-1•（-1）^n-1
=$\frac{1}{2}$（${C}_{n}^{1}$•2•（-1）⁰+${C}_{n}^{2}$•2²•（-1）+${C}_{n}^{3}$•2³•（-1）²+…+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ•（-1）^n-1 ）
=-$\frac{1}{2}$（-${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²-${C}_{n}^{3}$•2³•（-1）³+…+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ•（-1）ⁿ）
=-$\frac{1}{2}$（${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²-${C}_{n}^{3}$•2³•（-1）³+…+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ•（-1）ⁿ-${C}_{n}^{0}$ ）
=-$\frac{1}{2}$[（1-2）ⁿ-1]=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•（-1）ⁿ．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．