Question

5．在直角三角形ABC中，∠C=90°，E，F是斜边AB的两个三等分点，且AC=6，BC=8，那么$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{200}{9}$．

Answer 1

分析 可作出图形，根据向量加法及数乘的几何意义，并进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，而根据条件可求得${\overrightarrow{CA}}^{2}=36，{\overrightarrow{CB}}^{2}=64，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，然后进行向量数量积的运算便可求出$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}$的值．

解答 解：如图

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$；
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$；
根据条件，${\overrightarrow{CA}}^{2}=36，{\overrightarrow{CB}}^{2}=64，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$；
∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CF}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{CB}}^{2}$
=$8+0+\frac{128}{9}$
=$\frac{200}{9}$．
故答案为：$\frac{200}{9}$．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算，线段三等分点的概念，以及向量垂直的充要条件．