Question

17．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=3，${a}_{n+1}^{2}={3a}_{n}^{2}+2{a}_{n}{a}_{n+1}$其中n∈N^*，设数列{b_n}满足b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{3}^{n}}$，若存在正整数m，t（m≠t）使得b₁，b_m，b_t成等比数列，则$\frac{t}{m}$=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 已知式子变形可判数列{a_n}是公比为3的等比数列，可得b_n=$\frac{n}{2n+1}$，由b₁，b_m，b_t成等比数列可得$\frac{3}{t}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，由$\frac{3}{t}$＞0可得-2m²+4m+1＞0，解不等式结合m题意可得m的值，进而可得t值，可得答案．

解答 解：∵a_n+1²=3a_n²+2a_na_n+1，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-3a_n）=0，
又a_n＞0，∴a_n+1-3a_n=0，即a_n+1=3a_n，
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列．
又a₁=2，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ，
∴b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{n}{2n+1}$，
∵b₁，b_m，b_t成等比数列，
∴（b_m）²=b₁•b_t，即（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{t}{2t+1}$，
∴$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{t}{6t+3}$，∴$\frac{6t+3}{t}$=$\frac{4{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
∴$\frac{3}{t}$=$\frac{4{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$-6=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
由$\frac{3}{t}$＞0可得$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此时t=12．
故当且仅当m=2且t=12．使得b₁，b_m，b_t成等比数列，
此时$\frac{t}{m}$=6，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项公式的求法、等比中项的性质，由m，n的关系得到关于m的不等式求出m的范围是解决问题的关键，属中档题．