Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a+$\frac{1}{a}$=4cosC，b=1．
（I）若A=90°，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，c．

Answer 1

分析 （I）由题意A=90°，可得cosC=$\frac{b}{a}$，由a+$\frac{1}{a}$=$\frac{4b}{a}$=$\frac{4}{a}$，解得a，利用勾股定理可求c，利用三角形面积公式即可得解．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{a}$，由a+$\frac{1}{a}$=4cosC，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$，从而（$\frac{\sqrt{3}}{a}$）²+（$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$）²=1，整理可得：a⁴-14a²+49=0，解得a，cosC，由余弦定理可得c的值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵如图：A=90°，a+$\frac{1}{a}$=4cosC，b=1，可得cosC=$\frac{b}{a}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{4b}{a}$=$\frac{4}{a}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$asinC，可得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{a}$，①
∵a+$\frac{1}{a}$=4cosC，可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$，②
∴（$\frac{\sqrt{3}}{a}$）²+（$\frac{{a}^{2}+1}{4a}$）²=1，整理可得：a⁴-14a²+49=0，解得：a=$\sqrt{7}$，
∴cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{7+1-2×\sqrt{7}×1×\frac{2\sqrt{7}}{7}}$=2．

点评 本题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．