Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin²$\frac{A-B}{2}$sin（A+B）-sin（A-B）cos（A+B）-sinC=1．
（I）求A：
（Ⅱ）若c=6，b=3$\sqrt{2}$，点D在BC边上，BD=2DC，求AD的长．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式化简即可得出；
（II）在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，解得a．由BD=2DC，可得BD=2$\sqrt{10}$．在△ABC中，由正弦定理可得：sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．在△ABD中，由余弦定理即可得出．

解答 解：（I）∵2sin²$\frac{A-B}{2}$sin（A+B）-sin（A-B）cos（A+B）-sinC=1．
∴（1-cos（A-B））sin（A+B）-sin（A-B）cos（A+B）-sinC=1．
∴sin（A+B）-sin（A-B+A+B）-sin（A+B）=1，
化为-sin2A=1，A∈（0，π），
∴2A=$\frac{3π}{2}$，即A=$\frac{3π}{4}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=18+36-36$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=90，
解得a=3$\sqrt{10}$．
∵BD=2DC，∴BD=2$\sqrt{10}$．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{3\sqrt{2}}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{10}}{sin\frac{3π}{4}}$，可得：sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
在△ABD中，由余弦定理可得：AD²=${6}^{2}+（2\sqrt{10}）^{2}$-2×6×$2\sqrt{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=4，
解得AD=2．

点评 本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差公式、倍角公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．