Question

5．若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则角A=30°．

Answer 1

分析 根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，代入a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，得出a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c（-$\overrightarrow{GA}$$-\overrightarrow{GB}$）=$\overrightarrow{0}$，合并得出（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b$-\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
根据$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，系数同时为0求解a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，利用余弦定理求解cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$即可．

解答 解：根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴若a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c（-$\overrightarrow{GA}$$-\overrightarrow{GB}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴若（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b$-\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，
∴a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{1}{3}{c}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{3}{c}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{3}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴A=30°，
故答案为：30°

点评 本题考查重心的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意余弦定理的灵活运用