Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
则$\overrightarrow{AG}$=（　　）

• A． $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
• B． $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
• C． $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$
• D． $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$中的x与y的值．

解答 解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B（2，0），则D（0，1），E（2，$\frac{1}{2}$），F（1，1），
∴G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，1），
设$\overrightarrow{AG}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
则（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）=（2x，y），
即$\left\{\begin{array}{l}{2x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{3}{4}$，y=$\frac{3}{4}$；
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．