Question

19．40名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中x的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在（130，140]与（140，150]中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩落在（130，150]中的学生中任选2人，求此2人中至少有1人的成绩落在（140，150]中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率和为1，列出方程，求出x的值；
（Ⅱ）根据频率=$\frac{频数}{样本容量}$，即可求出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，成绩落在（130，150]的学生共有6人．
记成绩落在（130，140]中的4人为A₁，A₂，A₃，A₄，成绩落在（140，150]中的2人为B₁，B₂，则从成绩在（130，150]的6名学生任选2人的基本事件共有15个，根据概率公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知组距=10，且（0.005+x+0.020+0.035+0.015+x+0.005）×10=1，
解得x=0.010．                                                …（2分）
（Ⅱ）由条件及（Ⅰ）得：
成绩落在（130，140]中的学生人数为0.010×10×40=4，…（4分）
成绩落在（140，150]中的学生人数为0.005×10×40=2．              …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，成绩落在（130，150]的学生共有6人．
记成绩落在（130，140]中的4人为A₁，A₂，A₃，A₄，成绩落在（140，150]中的2人为B₁，B₂，则从成绩在（130，150]的6名学生任选2人的基本事件共有15个：…（8分）（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）…（10分）
其中，选出的2人中至少有1人的成绩落在（140，150]中的基本事件有9个：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）
∴选出的2人中至少有1人的成绩落在（140，150]中的概率为$p=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算，是基础题目．