Question

17．（1+x）ⁿ展开式中有连续四项的前三项二项式系数成等差数列，后两项二项式系数相同，则这个展开式共有（　　）

• A． 5项
• B． 6项
• C． 7项
• D． 8项

Answer 1

分析 由条件利用等差数列的定义性质，组合数的计算公式，求得r的值，可得n的值，从而根据二项式定理得出结论．

解答 解：设（1+x）ⁿ展开式中有连续四项分别为第r+1、r+2、r+3、r+4项，
根据这四项的前三项二项式系数成等差数列，后两项二项式系数相同，
可得${C}_{n}^{r}$+${C}_{n}^{r+2}$=2${C}_{n}^{r+1}$ ①，且${C}_{n}^{r+2}$=${C}_{n}^{r+3}$ ②．
由②可得 n=2r+5，代入①可得${C}_{2r+5}^{r}$+${C}_{2r+5}^{r+2}$=2${C}_{2r+5}^{r+1}$，
即$\frac{（2r+5）!}{r!•（r+5）!}$+$\frac{（2r+5）!}{（r+2）!•（r+3）!}$=2$\frac{（2r+5）!}{（r+1）!•（r+4）!}$，
求得r=1，∴n=7，故这个展开式共有8项，
故选：D．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，等差数列的定义性质，组合数的计算公式，属于中档题．