Question

7．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{7}$，c=2，D为BC的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．

Answer 1

分析 （I）法1：由已知及正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，由三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式即可求值得解
法2：由余弦定理可求a的值，即可利用余弦定理可求$cos∠BAC=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2AB•AC}$的值．
（II）法1：由$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$，两边平方即可解得AD的值．
法2：在△ABC中，由余弦定理可求BC=3，$BD=\frac{3}{2}$，在△ABD中，由余弦定理得即可解得AD的值；
法3：设E为AC的中点，连结DE，则 $DE=\frac{1}{2}AB=1$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{7}$，在△ADE中，由余弦定理可求AD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）法1：由正弦定理得$sinC=\frac{c}{b}sinB=\frac{2}{{\sqrt{7}}}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$…（1分）
又∵在△ABC中，b＞c，∴C＜B，∴$0＜C＜\frac{π}{2}$…（2分）
∴$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{2}{{\sqrt{7}}}$…（3分）
∴cos∠BAC=cos（π-B-C）=-cos（B+C）…（4分）
=-（cosBcosC-sinBsinC）…（5分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}-\frac{1}{2}×\frac{2}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$…（6分）
法2：在△ABC中，由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC…（1分）
∴$7=4+{a^2}-2×2×a×\frac{1}{2}$，…（2分）
∴（a-3）（a+1）=0解得a=3（a=-1已舍去），…（4分）
∴$cos∠BAC=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2AB•AC}$…（5分）
=$\frac{4+7-9}{{2×2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$．…（6分）
（II）法1：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$…（8分）
∴${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}{（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）^2}=\frac{1}{4}（{{{\overrightarrow{AB}}^2}+{{\overrightarrow{AC}}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}）$…（10分）
=$\frac{1}{4}（{4+7+2×2×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{7}}}{14}}）$=$\frac{13}{4}$…（11分）
∴$AD=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．…（12分）
法2：在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC…（7分）
=$4+7-2×2×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{7}}}{14}=9$，…（8分）
∴BC=3，
∴$BD=\frac{3}{2}$…（9分）
在△ABD中，由余弦定理得 AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠ABD，…（10分）
=$4+\frac{9}{4}-2×2×\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{13}{4}$，…（11分）
∴$AD=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，…（12分）
法3：设E为AC的中点，连结DE，则 $DE=\frac{1}{2}AB=1$，…（7分）
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{7}$…（8分）
在△ADE中，由余弦定理得AD²=AE²+DE²-2AE•DE•cos∠AED，…（9分）
=$\frac{7}{4}+1+2×\frac{{\sqrt{7}}}{2}×1×\frac{{\sqrt{7}}}{14}=\frac{13}{4}$，…（11分）
∴$AD=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，平面向量及其运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，转化思想和数形结合思想，属于中档题．