Question

18．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+2y-2≥0\\ x-y+2m≥0\end{array}\right.$表示的平面区域为三角形，且其面积等于$\frac{4}{3}$，则m的值为1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x-y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞-1，
则A（2，0），D（-2m，0），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1-m}\\{y=1+m}\end{array}\right.$，即B（1-m，1+m），
由 $\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-4m}{3}}\\{y=\frac{2+2m}{3}}\end{array}\right.$，即C（ $\frac{2-4m}{3}$，$\frac{2+2m}{3}$）．
则三角形ABC的面积S_△ABC=S_△ADB-S_△ADC
=$\frac{1}{2}$|AD||y_B-y_C|
=$\frac{1}{2}$（2+2m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）
=（1+m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）=$\frac{4}{3}$，
即（1+m）×$\frac{1+m}{3}$=$\frac{4}{3}$，
即（1+m）²=4
解得m=1或m=-3（舍）．

点评 本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．